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2.感知和理解数、量及数量关系

第二个目标涉及到一些重要的数学知识技能和能力，包括量的比较、基数概念、集合比较、序数、加减运算;涉及到的数学学习的过程性能力包括数的表达交流、数的表征。数的学习相对而言是儿童数学认知能力发展中的一个难点，因为数与数之间的关系看不见摸不着，它涉及对数的抽象逻辑关系的理解，也涉及到学习和运用人类发明的抽象的阿拉伯数字符号系统。

(1)量的比较。所谓量是指客观世界中物体或现象所具有的可以定性区别或测定的属性(林嘉绥、李丹玲，1999)。量的比较即根据具体特征或属性，探寻两种事物或几组事物之间的关系(罗莎琳德·查尔斯沃斯，2007)。儿童在日常生活中有大量的机会通过感知来了解和比较物体的各种特征，如：通过积木来学习长度、重量和面积的知识;通过玩沙、玩水来学习容量的知识等。第一个在“量的比较”方面所涉及的大多是连续量，如，对物体大小、长短、粗细、轻重、容量、面积等属性的比较，同时也涉及到一个非连续量“多少”。对小班幼儿的要求是理解有关大小、多少和高矮的概念，并能准确使用这些术语。它意味着要求幼儿在两两比较的情况下能用语言来描述物体的量的特征。中班是感知和区分粗细、长短、厚薄、轻重，同样也是要能理解这些概念和会用相关术语描述物体的特征。大班幼儿要求能初步理解量的相对性。5—6岁的幼儿已经开始理解物体的大小、长短、高矮的相对性，如，在三个物体相比较的情况下，幼儿能说出物体B小于物体A，但大于物体C。

(2)基数概念。所谓基数是指表示事物数量的自然数或正整数。儿童掌握了基数概念说明他们在数物体时已经理解最后说出的数是这一组物体的总数。数数是儿童早期数概念发展的重要基础，儿童通过与具体的情境和实物有关的数数过程来学习基数概念。《指南》目标中仅对小班幼儿有掌握基数概念的要求。小班基数概念的学习目标涉及到手口一致点数，说出总数和按数取物。说出总数是幼儿在数完物体以后能说出物体的总数，按数取物则是幼儿能根据他人的要求从一堆物体中取出一定数量的物体。按数取物是掌握基数概念的标志，如，要求幼儿从放有20颗纽扣的盒子中拿出5颗纽扣，幼儿能准确地拿出5颗纽扣则表明幼儿已经真正理解了5的基数含义。说出总数是按数取物的前提，但能说出总数并不一定说明幼儿真正理解了基数含义，因为幼儿有可能是在一种模仿的水平上完成数数的过程，并不明白最后所说出的数是代表了整个集合的数量。小班末掌握5的基数概念应该是一种最低要求。研究表明，城市刚入园的幼儿中有相当一部分人已经掌握了5的基数概念，到小班末，我国城乡幼儿中有60%的人已掌握了10的基数概念。

(3)序数。阿拉伯数字在我们日常生活的使用中有着多重含义。序数即用阿拉伯数字来表示一个事物对于另一个事物的相对位置或相对大小。序数概念的发展晚于基数概念。对中班幼儿提出了“会用数词描述事物的顺序和位置”的目标要求，在这个年龄，对儿童的序数掌握的要求一般是指10以内的序数。研究表明，我国5岁儿童在序数概念的发展上并不理想，城乡儿童中有50%的人仍不能指出10个物体排成一排后各自所处的顺序位置。城市儿童中也有近三分之一的5岁儿童尚未完全掌握10以内物体的顺序关系。这种困难在一定程度上也可能与儿童的生活经验有关。相对来说，儿童在生活中接触序数的机会可能少于接触基数的机会。

(4)集合比较。儿童能同时考虑两组物体的数量，判断两组的物体数量是否相同或是其中一组的物体数量更多;或在出示一组物体的情况下，儿童能摆出和这组物体数量相同的物体(罗莎琳德·查尔斯沃斯，2007;周欣，2004)。运用数数来比较两个集合的大小是一个很复杂的认知活动，它涉及到多方面的技能及这些技能之间的协调。首先，儿童必需具备熟练的数数技能;第二，儿童必须理解，比较集合的大小先要知道每个集合的数量，而数数是完成这一任务的必要和有效的手段;第三，儿童在数第二个集合时不能忘记数过的第一个集合的总数，儿童在对两个数目进行比较时应始终记住两个集合的总数;第四，儿童需要知道如果两个总数相同则两个集合的大小相同，总数不同则两个集合的数量不一样;最后，儿童需知道阿拉伯数字排列顺序越靠后，集合的数量越大。如果儿童缺少上述几种技能中的任何一种技能，他们都无法完成集合比较的任务。

儿童在婴儿期已经开始关注两个数量之间的关系。研究发现，儿童在1岁6个月以前开始发展对小的集合(如2和3)的数量大小关系的认识，2岁儿童中有30%的人能辨认2与3的多和少，他们有可能运用了目测、估猜或整体性感知的方法。从2岁半开始，儿童已逐步开始辨认4与5的大小。到3岁半以后，几乎所有的儿童都能比较4与5的大小。儿童先学会比较两个等量的集合，然后才会比较两个不等量的集合。儿童的集合比较能力的发展是一个逐步和缓慢的过程。4岁儿童即使会数数，能够运用数数准确地说出一个集合的总数，但在对两个集合进行大小比较时，他们很容易受到其他因素，如物体排列方式的影响，会认为物体摆放松散的那一排的数量更多。

《指南》对小班和中班幼儿都提出了集合比较的要求。对小班幼儿的要求是能通过一一对应的方法比较两组物体的多少。幼儿一一对应的能力在4岁已开始发展，但发展的并不理想。研究发现，儿童的这一能力的表现是有条件的，即只有在把物体排放成一一对应时，儿童会使用这种方法来比较，反之他们不会自发地采用一一对应的方法。如果他们还不会运用数数来比较的话，往往会采用估猜的方法。事实上因为小班的基数概念的目标要求是5，而5以内的数量只要采用目测的方法就能比较多少，不需用到一一对应的方法，所以这里的一一对应的方法应该是应用于比较5个以上的物体，即超出目测的范围才有实际的意义。《指南》指出中班幼儿具有“能通过数数比较两组物体的多少”的典型表现，这一要求应该是可行的。研究表明，我国城乡5岁儿童中已有76%的儿童会运用数数比较9和10两个集合的大小。

(5)加减运算。加即把两个集合合并起来，减即把一个集合分成两个较小的集合(罗莎琳德·查尔斯沃斯，2007)。研究表明，婴儿已经表现出对物体数量的增加和减少的关注。儿童的实物加减运算的能力在2岁左右开始出现。远在掌握基数概念以前，儿童就已经知道添加物体的行为能使一个集合的数量增加，拿走物体的行为能使一个集合的数量减少。这种有关物体的增加与减少的感性经验是学习加减运算的重要基础。运用实物的加减运算在学前期非常重要，它不仅帮助儿童真正理解加减运算的意义，也为以后的心算与书面运算提供了重要的基础。
 

《指南》在中班和大班均提出了加减运算的目标，但侧重于对加减运算的实际意义的理解。如，在中班要求“能通过实际操作理解数与数之间的关系，如5比4多1;2和3合在一起是5”。这一目标的提出是希望幼儿在自己的操作活动中真正理解5以内数与数之间的关系，同时它也是最简单的实物加减运算。大班的要求有两个，一是“借助实际情境和操作(如合并或拿取)理解‘加’和‘减’的实际意义”。这一要求的目的很清楚，即对大班的幼儿来说，加减运算的学习最重要的是理解它们的实际意义，而不是运算技能的熟练程度。理解加减的实际意义意味着幼儿能在实物操作的水平上理解10以内符号的意义及其数量关系，而不是仅仅会背诵几加几等于几的结果。二是“能通过实物操作或其他方法进行10以内的加减运算”。这是对幼儿加减运算的技能提出了一定的要求，幼儿可以使用任何策略来完成，包括实物、借助手指、口头数数或心算。

(6)表达交流。在第二个目标中，除了数、量和数量关系的内容目标之外，还蕴含了数学的表达和交流的过程性能力目标。所谓表达和交流即采用口头或书面形式，如图画、符号、地图等方式来说明或解释问题解决和数学推理的过程。儿童能与同伴、教师或其他人进行清楚的数学方面的交流，能分析和评价别人的数学思考，并能用数学的语言精确地表达数的概念(NCTM，2001)。儿童通过口头和书面的交流来更好地理解和巩固他们对数的理解。通过这种交流，他们能学会运用更准确的数学语言、数的符号系统来表达他们的理解。交流能使数学的思维具体化，并促使儿童对这一思维过程进行反思。儿童的口头数交流最初出现在他们的日常生活中，如对食品和玩具的需求上。儿童在真实的生活情境和操作活动过程中，在与周围人的接触过程中，学到了许多有关数量的词汇和意义。他们也学会在具体的情境中来运用这些概念，但往往在用语言来表达这种理解上有困难。

对小班幼儿提出了“能用数词描述事物或动作”，对中班幼儿提出了“会用数词描述事物的顺序和位置”的要求。这两条要求既是期望幼儿能够在日常生活中运用数，同时也是希望他们能学习会运用数学的术语来表达自己的需求，加深对数学概念的理解。

(7)表征。在第二个目标中还蕴含了表征的过程性能力目标。所谓表征即儿童能运用多种表现的手段来表达数学的概念，能运用数的表征方式来解决问题，演示、解释各种现象(NCTM，2001)。儿童运用多种表现手段，如手势动作、实物、绘画、口头语言和书面语言来表征对数的理解。各种表征手段之间的联系和转换有助于儿童对数概念的理解，并有助于儿童从具体的数表征向抽象的数表征过渡。

《指南》对大班幼儿提出了“能用简单的记录表、统计图等表示简单的数量关系”的要求。学前儿童对数量之间关系的认识大多是在实物或口头数字的层面上进行，而到大班末，我们希望幼儿对数量关系的理解逐步从具体到抽象，能够在书面符号表征的层面上反映出来，如运用简单的表格、数字符号等。这既是对表征能力发展的要求，同时也是对幼儿最初的数据分析能力发展的要求。它期望幼儿能提出自己的问题，并收集相关数据，对数据进行整理并能运用多种手段来表征数据。如，今天户外活动，我们班有多少人选择了拍球，多少人选择跳绳，多少人选择了走平衡木。有关这一目标的活动幼儿园并不陌生，多年来已经积累了不少相关的经验。