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平面几何—将军饮马(最短路径)

2023-06-01 14:59:43

公务员考试网 https://hlj.huatu.com/gwy/
文章来源:黑龙江华图教育

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  “将军饮马”是我国最古老的数学题型之一。

  唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河。”大致的意思是:“白天登山观察报警的烽火台,黄昏时牵马饮水靠近交河边。”在这两句诗终隐含这一个有趣的数学问题:黄昏时将军从烽火台到交河饮马后回军营休息,怎样走才能使路程最短呢?

  其实解决这个问题并不难,先将其抽象为数学模型:直线l同侧有两个定点A、B,在直线l上找一点C使AC+BC最小即可(如下图)。

  说到两点之间最短距离我们一定会想到点到点最值模型:“两点之间线段最短”,但是,A、B两点在直线l的同侧,直接连接AB并不会交于直线l。所以我们解决此类题型可以假定A、B两点在直线l的两侧,则可连接AB交直线l于点C。因此,我们可以找点A关于直线l的对称点,再连接A’B交直线l于点C,点C即为所求!

  下列我们来看两道例题,实操一下。

  【例1】悟空与二郎神在离地面1米的空中决斗,两人相距2米,悟空想用分身直接偷袭二郎神,为了不引起对方的警觉,分身必须在地面反弹一次再进行攻击,则分身到达二郎神的位置所走的最短距离为:

  【答案】A

  【解析】第一步,本题考查几何问题,属于其他几何类。

  第二步,如图所示,假设A为悟空所在位置,A'为其相对地面的对称点,B为二郎神的位置。分身必须在地面反弹一次,分身到达二郎神的位置所走的路线有多种,如折线ADB所示。要使折线长度最短,则反弹点应位于A'B与地平线的交点E,AA'=2米,则最短距离为AE+EB=A'E+EB=A'B=

  因此,选择A选项。

  【例2】A点、B点与墙的位置如右图所示,现从A点出发以5米/秒的速度跑向墙,接触到墙后再跑到B点,问最少要多少秒到达B点?

  A. 30 B. 34

  C. 38 D. 42

  【答案】A

  【解析】第一步,本题考查几何问题,属于平面几何类。

  第二步,如图所示,作B点对称于墙为B'点,连接A、B'点,交墙于C点,作AD⊥DB',在直角三角形ADB'中,AD=45+30+45=120(米),DB'=90(米),则根据勾股定理得AB'=150(米)。

  第三步,最短距离AC+CB=AB'=150(米),至少需要150÷5=30(秒)。

  因此,选择A选项。

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