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行测数量关系：排列组合去重复
众所周知，重复计数是排列组合问题的主要错误之一，而此类问题具有隐蔽性，不易被发现。本文就排列组合中几种常见的重复性错误加以剖析，以期来提升大家解决问题的能力。
排列组合问题中一个最核心的要素是不重不漏，那如何才能避免重复计数呢，这就需要我们了解重复产生的原因。常见的容易产生重复的情况主要有三类：第一，分步引起重复计算;第二，平均分组易重复计算;第三，环形排列易重复计算，这里我们先介绍前两类：
一.分步引起重复计算
【例】从5名男生5名女生中选出4人，去参加培训，在选出的4人中至少有1名男生1名女生的情况数有多少种?
【错解】先在5名男生中选择1名，有种，再在5名女生中选择1名，有种，然后在剩余的8人中再选出2人，有种，根据分步计数原理共有种。
剖析：假设甲、乙为2名男生，丙、丁为2名女生，根据上述选法，其中有一种取法可以是“先选甲，再选丙，再选乙和丁”，另外一种取法是“先选乙，再选丁，再选甲和丙”。显然这两种取法是同一种结果，但上述解法却将其当成两种情况，导致重复。
究其原因是本题使用了分步计数原理，而分步本身就包含顺序(有先有后)，与排列相关。但是本题中无论是选择两名男生还是两名女生，只是一个组合，跟顺序没有关系，因此出现了重复计数。
【正解】分成三类：
(1)1男3女，有种
(2)2男2女，有种
(3)3男1女，有种
共50+100+50=200种。
类似的题目在公考中屡见不鲜，下面就通过两道题目对比理解：
【例1】(2016联考)在九宫格内依次填入数字1—9，现从中任取两个数，要求取出的两个数既不在同一行也不在同一列，共有多少种不同取法?
A.9 B.18
C.36 D.45
【答案】B
【解析】第一步，本题考查排列组合问题，属于基础排列组合。
第二步，先从9个数字中任选1个数，有种情况，去掉一行一列后，再选第二个数有种情况。而本题要求任意取出两个数，属于随机取数(即取出的两个数没有先后顺序)，故共有(种)不同取法。
因此，选择B选项。
【例2】(2016河南)在7×7的队列中，先随机给一个队员戴上红绶带，再给另一个队员戴上蓝绶带，要求戴两种颜色绶带的这两位队员不在同一行也不在同一列。问有多少种戴法?
A.1048 B.1374
C.1764 D.1858
【答案】C
【解析】第一步，本题考查排列组合，属于基础排列组合。
第二步，根据7×7的队列知，共有7×7=49(人)，则选出一人戴红绶带有=49(种)情况。
第三步，要使所选出1人不在同一行也不在同一列，可知戴蓝绶带人选有6×6=36(人)，故从中选出一人戴蓝绶带共有=36(种)情况。总的戴法为49×36=1764(种)情况。
因此，选择C选项。
观察例1和例2，我们会发现，例1要求“任取两个数”，所以采用分步计算后需要剔除重复;而例2要求“先给一个队员戴上红绶带，再给另一个队员戴上蓝绶带”有先后顺序，直接相乘即可。通过两道例题，我们可以总结如下：①如果按照顺序选取(或有先后顺序)，则无重复;②如果随机选取(即无顺序)，则有重复，需要剔除重复，剔除的方式是如果选取M个数，就除以。
二.平均分组易重复计算
【例】将6个人平均分成3组，每组2人，有多少种分组方式?
【错解】分3步：首先在6人中任取2人，作为一组有种;之后在余下4人中再取2人，有种;最后剩下2人作为一组，据分步计数原理知共有种。
剖析：将6人分别看为甲、乙、丙、丁、戊、己，假设第1种取法是“先取甲乙，再取丙丁，最后取戊己，分成3组”，第2种取法是“先取丙丁，再取甲乙，最后取戊己，分成3组”，可见2种取法是同一种分组方式，出现了重复计数。
【正解】首先在6人中任取2人，作为一组有种;之后在余下4人中再取2人，有种;最后剩下2人作为一组，再除以平均分组的重复次数，所以共有种。
下面通过几道公考题目加深理解：
【例3】(2015四川)将10名运动员平均分成两组进行对抗赛，问有多少种不同的分法?
A.120 B.126
C.240 D.252
【答案】B
【解析】第一步，本题考查排列组合问题，属于基础排列组合。
第二步，由平均分成两组知，第一组先选出5人有=252(种)种分法，剩下5人自动成为第二组。由于没有先后顺序区别，所以有=126(种)。
因此，选择B选项。
在解决平均分组类问题时，如果分成N组，需要除以来剔除重复。
【例4】(2018浙江)某班共有8名战士，现在从中挑出4人平均分成两个战斗小组分别参加射击和格斗考核，问共有多少种不同的方案?
A.210 B.420
C.630 D.840
【答案】B
【解析】第一步，本题考查排列组合问题，属于基础排列组合。
第二步，先从8名战士中挑出4人，有(种);再从这4名战士中选择2人参加射击考核，有(种);最后剩余的两名战士参加格斗考核，有(种);分步用乘法，共有70×6×1=420(种)。
因此，选择B选项。
究其实质本题有两个过程，第一，先分成2个2人小组，第二，分组之后去参加两个不同的小组，故需再乘以，即。
【例5】(2017江苏)某单位组织志愿者参加公益活动，有8名员工报名，其中2名超过50岁。现将他们分成3组，人数为3、3、2，要求2名超过50岁的员工不在同组，则不同分组的方案共有：
A.120种 B.150种
C.160种 D.210种
【答案】D
【解析】第一步，本题考查排列组合问题，属于基础排列组合。
第二步，根据要求2名超过50岁的员工不在同组，有以下2种情况：
①分别在2个三人组，有(种)情况;
②分别在1个三人组，1个二人组，有(种)情况。
第三步，不同分组的方案共有90+120=210(种)。
因此，选择D选项。
例5是平均分组中较难的综合题目，但你只要明白了平均分组本质及原理，本题也会迎刃而解。
（编辑：hanxiaoming）
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